非線形主成分分析を用いた回転機の音響監視
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カテゴリ: 第5回
1. 緒言
新検査プログラムの開始に伴って、状態監視保全 (CBM)の役割はますます大きくなってくる。その際、 振動、温度、油分析といういわゆる3種の神器による 詳細な機器状態の監視手法が焦点となっているが、そ の前段階として、運転員や保守員によるパトロール監 視も重要な活動の一つになると考えられる。そこでは、 目視検査のほかに、音や匂いといった人間の5感に基 づく俯瞰的な監視が必要となる。一方で、これは経験 に基づく定性的判断でもあり、その客観化・定量化が 可能であれば、より精度のよい状態監視に寄与できる ことになる。しかしながら、俯瞰的な監視は、遠隔か らの広域監視を意味しており、得られる情報には、本 来の機器状態信号が劣化・減衰した形で含まれ、さら に、計測過程での多様なノイズが混入することになり、 有意な情報の抽出・定量化は容易ではない。また、毎 回異なる測定感度に依存しない普遍的な特徴量を用い た状態判断を行うことも必要になってくる。 1. 本稿では、このような遠隔計測した情報から、統計 的信号処理手法を用いて必要な機器状態に関する情報 を抽出し、その状態を識別する方法を提案する。具体 的には、ころがり軸受けを題材にして、音響マイクに よって計測した正常・異常時の音響データから、その 測定感度の違いを校正し、高感度で異常状態を識別す る信号処理・状態識別技術に関する新しい提案を行う。 著者らは前報[1,2]で主成分分析と確率ニューラルネットワークを用いた識別法を提案しているが、本報で は、これらの手法をさらに拡張し、回転機器の周期性 に着目した波形前処理法と非線形主成分分析を導入し た方法を提案する。さらに、基本周期そのものの微妙 な変動パターンに着目した異常識別法も提案する。こ れにより、従来の信号処理法よりさらに高感度で異常 状態が識別できることを示す。 1. 本稿では、これらの状態監視法を、転がり軸受を組 み込んだ異常模擬試験装置で収録した音響データに適 用し、状態識別結果の妥当性を確認した結果を報告す る。
2. 信号処理手法
2.1 前処理・回転同期信号の抽出 - 巡視点検での音響監視の場合、同じ計測位置での計 測は現実的ではないため、測定感度に影響されない異 常判定法が必要となる。また、回転機の診断でしばし ば用いられるキーフェーザ(回転基準信号)を用いる ことも出来ない。これらを考慮し、本報告では Fig.1 に示すような前処理により、状態判定に用いる特徴量 (パターン)を求める方法を新たに提案する。ここで は、回転機の基本周波数(回転同期成分)に着目した 信号処理を行う。最初に、低域通過フィルターを用い て基本振動成分を抽出し、そのゼロ交叉点から、1回 転ごとの正確な時刻を求める。回転機は、通常、ほぼ 一定の周期で回転するが、高精度で周期の変動を計測475すると、回転ごとに±2%程度の変動がある。この回転 周期そのものの変動を時系列信号とみなすと、これは、 回転機の状態を特徴付ける情報となっていることが推 察される。一方、ゼロ交叉点を基準に、1回転に対応 する音響データを同じ長さに規格化して平均化すると、 1回転での音響データの変動の特徴が高精度で再現で きると考えられる。これは、振動信号とキーフェーザ 信号の位相変化が、異常原因の推定に重要な役目を果 たすことから類推して、今回新たに試みた方法である。 基本周期を同じ長さに規格化して平均化することで、 周波数分析した場合の基本周波数やその高調波の推定 精度を高めることも出来る。 - Fig.2 には、上記方法で求めた音響信号の低周波成分 と高周波成分(200Hz で区別)を、3回転分重ね合わせ て示した。後述する 50Hz で回転している正常データの 信号を例に取ったものである。以下では、この固定長 に規格化した波形を「回転規格化信号」と呼ぶことに する。また、Fig.3 には、基本周期の変動の時間変化を 示す。約 500 回転分、10 秒のデータを示しているが、 ±1%程度の変動があることがわかる。低域通過 フィルター回転同期成 分のゼロ交 叉点の判定回転同期成分の 基本周期の時間 ?勤原信号を 標準偏差 で規格化ゼロ交叉点を基準 にした原波形の固 定長への規格化と 平均処理固定長の基本波形 のパターン認識 (回転規格化信号)|基本周期の 時間変動の パターン認識」低周波成分 高周波成分) Fig.1 Pre-processing algorithm of acoustic signalmeasured from rotating machineLow-Freq. AmplitudeHigh Freq. AmplitudsTime(““0.023msec) Fig.2 Extracted acoustic wave of low and high frequencycomponent for single rotating periodNorm Period(%).................. ............... .... Count of RotationsFig.3 Trend of rotating period fluctuation (fundamentalperiod:0.02sec)2.2 状態識別法 * 上記の回転規格化信号は、回転機の状態を示す多次 元ベクトルであり、低周波成分の波形は軸の周方向の 回転情報に直接関係する計測値と考えられる。一方で、 高周波情報は、人間の耳に直接聞こえる情報である。 これらの情報から回転機の状態を識別する際、より低 二次元の情報に縮約することで、直感的な状態把握が可 能になる。そのための方法として、本報告では主成分 分析 (PCA)と、その拡張である非線形 PCA (Kernel PCA、 KPCA) [3,4)を利用する。 (1) 主成分分析(PCA)による方法 -正常運転時にM回測定された p 次元回転規格化信号 をx(m) (m=1,M)とすると、相関関数は11M＝=-2x(m) x(n)““-1Mm=1となり、その固有値問題は下記のようになり、p 個の | 固有値と固有ベクトルを求めることが出来る。-22V = CV このとき、M 個の回転規格化信号の、k 番目の固有ベ クトルへの射影値(主成分スコア値)は z (m) = V() . x(m)(3) となる。主成分分析による方法では、p 個の固有ベク トルから選んだ少数個(K 次元)の射影データ zx(m)、 (k=1,K)を用いて機器の状態を識別する。 (2)非線形主成分分析 (KPCA)による方法[3,4] - Kernel PCA(KPCA)は、主成分分析の非線形空間への 拡張である。まず、x→p(x)という非線形変換を考える。 KPCA では、具体的な 中 の関数形状の定義はせずに、 その内積だけを定義することで、非線形空間内の射影 データを求める。非線形空間での相関関数は(1)式の代 わりに下記のように定義される。p個の476>(n=1,M)-5ル a は、(5)式より、-7Mm1して以下を用いた。で-->< (x)) g(x)““ > (4) この固有値問題は(3)式と同じ形となる。ただし、固有 ベクトル V の次元は異なることに注意が必要である。 この V は、M 個の非線形空間でのデータ P(x(m))で張 られる空間にあることから、次の関係式が成り立つ。 _=< (x).TV > (m = 1, M)-5v=2a.bts)ここで定義した M 次元ベクトル a は、(5)式より、 Mia = Ka(6) を満たすことが分かるので、この固有方程式を解くこ とで得られる。ここで、カーネル行列 K は次のように 定義される。K(x, xj) =< P(x,).Q(x,) > 本報告では、このカーネル関数として以下を用いた。TX, Ex._K(x,xs) =< (x).p(x)) >= exp(-““-825なお、(6) 式で、固有ベクトル=1を満たす 必要があるので、2ィ=1 なる規格化が必要 である。こうして、非線形空間での固有ベクトルが求 まると、この固有ベクトルへのデータ xの非線形空間 での値。(x)の射影値は下記のように求まる。zr = = Fa. <(x, .(x)>-9m%3D1即ち、(3)式に相当する、k 番目の非線形空間での固有 ベクトルへの射影値は、非線形空間での内積演算だけ で求めることができ、写像関数 中の具体的な形状を知 る必要はない。 線形の主成分分析では、固有ベクトルの数が、データ の属性値の次元 p を超えられないが、KPCA では、学 習データ数 M まで可能になる。入力となる観測データ の次元が、例えば2次元である場合、主成分分析では、 二つの固有軸しか求まらないが、カーネル PCA では、 データ数に応じた固有軸を求めることができ、より詳 細な状態識別が可能になる。 (3) 確率ニューラルネットワーク (PNN)による監視PAN(Probabilistic Neural Network)は混合ガウス分 布の確率密度関数を識別関数とするもので、以下で定-11義される[5]。 ここで、X, は、j グループに属する (i=1,n;) 個の特徴ベクトルであり、平滑化パラメータ oを用い たガウス関数の和で次式のように識別関数を計算する。(2102), n, a 72 6““ |この確率が、以下のようにある閾値 c以下かどうかで、 特徴パターンXがグループ G に属するかどうかを判断 する。 S,(X)XeG,(11) f,(X) <⇒ X G, 識別グループとして、正常グループ、k 個の異常グル ープを用意しておいたとすると、そのどれかに属する か、または、どれにも属さないか(Don't know) を識 別できる。どのグループに属するかは、識別関数の最 大値(尤度)を用いて判断すればよい。また、連続監 視には、監視指標 MI として、上式の対数をとった対 数尤度関数を用いて行う。即ちMI(X()) = log(forman (X())) (12)ここで、XOは各監視時刻で計測された特徴ベクトルで あり、Shorren(X)は、正常時に計測した複数個の学習用特 徴ベクトルから計算される識別関数である。3.試験装置とデータ測定* 転がり軸受けの状態監視は多く報告されているが、 加速度計による計測がほとんどであり、マイクを用い た遠隔からの状態監視はあまり報告されていない。マ イクによる監視は、加速度計に比べて監視精度が劣る という欠点はあるが、簡便であり、非接触で広域の情 報が取れることから、状態監視においては重要な役割 を担うと考えられる。また、パトロール時の運転員の 定性的判断をより定量化できれば状態監視の手段とし てより有用なものにできる。ただ、マイクを用いて計 測したデータは、音源との距離が不定で信号強度が相 対値としてしか取れないため、それを考慮した信号処 理が必要である。さらに、遠隔からの計測情報である」 ことから、観測ノイズの混入によって本質的な特徴が 隠されてしまうことも多く、より精密な信号処理・特 徴抽出手段が望まれる。 本稿では、このような背景の下に、Fig.4 に示した転477がり軸受けの模擬試験装置で収集した音響データを用 いて、状態識別方法の検討を行う。これらのデータは、 前報[1,2]と同じものを用いている。 Fig.4 に示す例のよ うに、本試験装置では、外輪傷3種、内輪傷3種、玉 傷1種の異常模擬が可能で、この各データを、Fig.4 に 示すような音響マイクを用いて 44.1kHz のサンプリン グ周期で、約 10 秒間採取した。これらのデータは、異 なる回転数(3000、2000、1500、1000、500rpm)で計 測している。 - 計測データの一例として、定格運転(3000RPM) の正 常運転時と、内輪傷大と小の場合の周波数分析結果(APSD)の比較を Fig.5, 6 に示しておく。回転同期成 分と高調波が明確に観測されているが、正常と異常時 の変化は高周波数成分で顕著であるものの、基本周波 数やその高調波数成分ではそれほど明確な差は現れて いない。特に、内輪島小の場合、正常時との差はほと んどないことが分かる。軸受けに接触させて計測した 加速度計のデータからは、異常時の振動の変化は、外 輪島小の場合も含めて明確に観測されるが、非接触で 計測した音響データの場合、異常による観測データの 変化はわずかになってしまう。なるかわからな外輪傷軸受 内輪傷軸受Fig.4 Mockup facility of rolling bearing and simulatedfailures (Outer and Inner race defects)Inner Race Defect (Large)Log-APSD (Relative)Normal (3000RPM)1_10_1001K10K1010K1001K Frequency (Hz)111010K100 1K Frequency (Hz)Fig.5 Auto-Power Spectral Density of acoustic sound forNormal and Inner race defect (Large) conditionLog-APSD (Relative)Inner Race Defect (Small) Normal (3000RPM)- 10 100 1K 10KFrequency (Hz) Fig.6 Auto-Power Spectral Density of acoustic sound forNormal and Inner race defect (Small) condition4.適用結果 4.1 状態識別性能の評価 - 定格運転 (3000RPM)での内輪傷(大、中、小) 3 ケースのデータを例にとって、正常データから の識別性能を評価する。各データは、基本周期 (50Hz、0.02s) 10 波分を平均して得た周波数ス ペクトル密度(APSD)、ないし、低周波通過フィ ルターを通した後の生データ波形の平均値を特 徴量として用いる。 3 種の異常時と正常時の各状 態で夫々50 ケース分のデータを識別することを 試みる。 1 ケース 0.2 秒のデータ長になるので、 50 ケースは、10 秒のデータに相当する。 - 特徴量は、PSD の場合 512 点、生データの場合 1024 点となるが、この中から代表的な2点を、経 験的、ないし、PCA/KPCA によって選択し、さら に、(10)式による PNN でモデル化し、各状態の確 率密度関数を求める。このとき、正常と異常の識 別性能を、下記のように正常データの最小対数尤 度と異常データの最大対数尤度の差 CI (Classification Index)で定義する。この値が正で大 きいほど識別性能がよくなる。また、CI が負にな ると、一部の異常データを正常とみなしてしまう ことになる。L. = min log{f normal (X,)} L2 = max log{f normal (X;)}(13) CI = L, - L2je normalje Abnormal478Fig.7 は、経験的特徴量として、高周波数(200Hz 以上) の振幅、基本周波数(50Hz)の振幅、第2高調波の振幅を 用いた際の各状態(正常、3種の異常)の違いを図示し たものである。図から分かるように、正常と内輪傷小の 状態は、基本周波数と第2高調波の振幅によって識別さ れることが分かる。このときの CI 値は、8.72 である。 内輪傷小の状態は、Fig.6 からもわかるように、正常状 態とほとんど差がないため、着目する特徴量を適切に選 ぶことで始めて識別が可能になる。一方、Fig.8 は 512 次元の PSD を入力として主成分分 析を行い、(3)式により求めた第 1、第 2 主成分を軸に とって4種の状態を識別したものである。正常と内輪傷 小はより明確に識別できており、CI 値 14.5 が得られて いる。また、Fig.9 は、1024 次元の生データを入力と して KPCA を行い、(9)式に基づいた第1、第2主成 分によって分類した結果である。このとき、識別は さらに明確になっており、CI 値 25.2 が得られた。これらの結果より、KPCA は、小さな変化を感度良 く識別できることがわかる。前報[1,2]の結果と比べて も識別性能が大きく向上している。SmallSmallNormal1st-resonance-Amplitude21-resonance-AmplitudeMiddleMiddleNormalLargeLargeHigh-Freq-Amplitude15-resonance-Amplitude Fig. 7 State classification using three heuristic feature indices for Normal and Inner race defects( Small, Middleand Large)SmallMiddle2nd PCA ComponentLargeNormal134 PCA ComponentFig.8 State classification using PCA for Normal andInner race defects( Small, Middle and Large)Small2nd KPCA Component0 LargeMiddleNormal20081st KPCA Component Fig. 9 State classification using KPCA for Normal andInner race defects( Small, Middle and Large)4.2 連続監視性能の評価ここでは、(12)式で定義した監視指標 MI による連続 監視性能を評価する。前記の正常状態の 50 ケースを半 分に分け、25 ケースから PNN の基準モデル(10)式を作 成し、これを用いて、残り 25 ケース、ならびに、3種 の異常状態 150 ケースの状態識別を行った。Fig. 10 は、 PCA 第 1, 2 主成分により求めた MI の結果であるが、内 輪傷小、中、大のそれぞれの結果を適切に識別できて いることが分かる。また、Fig. 11 は、KPCA による結果 である。PCA に比べ、内輪傷小の状態がより明確に識 別できていることが特徴的である。即ち、微小な差を 高感度で識別できることが分かる。formingMonitoring Index (MI)MiaSmallMiddle Large 20 20000の120 14010 180000State CasesFig. 10 Continuous monitoring by PNN log likelihoodindex (PCA)479Monitoring Index (MI)Middle* Normal Small you thatV Large 南市恵南 南 南南南南State CasesFig.11 Continuous monitoring by PNN log likelihoodindex (KPCA)4.3 回転周期の変動パターン - Fig.1 で定義した回転周期そのものの変動パターン の例を Fig.12 に示す。回転機の基本回転周期が異常兆 候の一つとしてどんな意味を持っているかは現状明ら かにはされていないが、この例のように、±2%程度の 揺らぎを持っており、正常状態と外輪傷大の場合でそ のパターンは異なっていることが分かる。カオス分析 でしばしば取り上げられる基本周期そのものの変動が、 回転機の監視で有意義かどうかは今後の課題であるが、 状態監視の一つの指標として、今後検討してゆく価値 はあると思われる。NormalNorm. Period(%)MUCount of RotationsOuter Race Detect(Large)Norm. Period(%)Count of RotationsFig. 12 Fluctuation of principal rotating periods for normal and Outer race defect (Large) state data4.結言- 音響マイクを用いた転がり軸受けの異常監視を例に、 各種の信号処理・状態識別法の検討を行った。音響マ イクの利用は、運転員の俯瞰的な監視手段として有用 と考えられるが、遠隔からの監視であるため、データの定量化に工夫が必要である。このために、回転周期 ごとにデータを規格化する前処理と、PCA・KPCA と PAN を組み合わせた状態識別法を提案した。これによ って、微小な状態変化を高感度で識別できることを明 らかにした。 - 音響監視は、監視の容易性という点で有用であるが、 監視精度(保全に結びつく異常をどの程度正確に評価 できるか)や、判断基準(保全の必要性を判断する基 準)を明確にすることが、必ずしも容易ではない。特 に、音響信号の変化の中には、異常に結びつく可能性 のある兆候と、環境変化などに起因した正常範囲内で の変化があるため、これを見分けることが大事になる。 そのためには、状態監視データの蓄積と同時に、本報 で述べたような多様な特徴を抽出・評価するデータ処 理法に関する研究が重要となると考えられる。謝辞1本研究は保全学会状態監視技術分科会の活動の一環 として行ったものである。支援を受けた保全学会に感 謝の意を表す。参考文献[1] 玉置哲男、榎本光広、兼本 茂、日隈幸治、永森明、「主成分分析と確率ネットワークによる音響 診断」、 第2回評価・診断に関するシンポジウム、日本機械学会(2003.12) [2] 玉置哲男、榎本光広、兼本茂、日隈幸治、永森明、「確率ネットワークを用いた音響診断システ ム」、日本原子力学会 2003 年春の年会、K47(2003.3). [3] D.F.Spect: Probabilistic Neural Networks forClassification, Mapping, or Associative Memory, Proc. IEEE Int. Conf. On Neural Networks, Vol.1,pp525-531 (1988). [4] N. Cristianini, J. Shawe-Tailor, An Introduction toSupport Vector Machines, Cambridge UniversityPress, 2000. [5] B. Scholkopf, A. Smoda, K.R. Muller, NonlinearComponent Analysis as a Kernel Eigenvalue Problem, Neural Computation, 10, p.1299-1319(1998).480“ “?非線形主成分分析を用いた回転機の音響監視“ “兼本 茂,Shigeru KANEMOTO,玉置 哲男,Tetsuo TAMAOKI,清水 俊一,Shun-ichi SHIMIZU
新検査プログラムの開始に伴って、状態監視保全 (CBM)の役割はますます大きくなってくる。その際、 振動、温度、油分析といういわゆる3種の神器による 詳細な機器状態の監視手法が焦点となっているが、そ の前段階として、運転員や保守員によるパトロール監 視も重要な活動の一つになると考えられる。そこでは、 目視検査のほかに、音や匂いといった人間の5感に基 づく俯瞰的な監視が必要となる。一方で、これは経験 に基づく定性的判断でもあり、その客観化・定量化が 可能であれば、より精度のよい状態監視に寄与できる ことになる。しかしながら、俯瞰的な監視は、遠隔か らの広域監視を意味しており、得られる情報には、本 来の機器状態信号が劣化・減衰した形で含まれ、さら に、計測過程での多様なノイズが混入することになり、 有意な情報の抽出・定量化は容易ではない。また、毎 回異なる測定感度に依存しない普遍的な特徴量を用い た状態判断を行うことも必要になってくる。 1. 本稿では、このような遠隔計測した情報から、統計 的信号処理手法を用いて必要な機器状態に関する情報 を抽出し、その状態を識別する方法を提案する。具体 的には、ころがり軸受けを題材にして、音響マイクに よって計測した正常・異常時の音響データから、その 測定感度の違いを校正し、高感度で異常状態を識別す る信号処理・状態識別技術に関する新しい提案を行う。 著者らは前報[1,2]で主成分分析と確率ニューラルネットワークを用いた識別法を提案しているが、本報で は、これらの手法をさらに拡張し、回転機器の周期性 に着目した波形前処理法と非線形主成分分析を導入し た方法を提案する。さらに、基本周期そのものの微妙 な変動パターンに着目した異常識別法も提案する。こ れにより、従来の信号処理法よりさらに高感度で異常 状態が識別できることを示す。 1. 本稿では、これらの状態監視法を、転がり軸受を組 み込んだ異常模擬試験装置で収録した音響データに適 用し、状態識別結果の妥当性を確認した結果を報告す る。
2. 信号処理手法
2.1 前処理・回転同期信号の抽出 - 巡視点検での音響監視の場合、同じ計測位置での計 測は現実的ではないため、測定感度に影響されない異 常判定法が必要となる。また、回転機の診断でしばし ば用いられるキーフェーザ(回転基準信号)を用いる ことも出来ない。これらを考慮し、本報告では Fig.1 に示すような前処理により、状態判定に用いる特徴量 (パターン)を求める方法を新たに提案する。ここで は、回転機の基本周波数(回転同期成分)に着目した 信号処理を行う。最初に、低域通過フィルターを用い て基本振動成分を抽出し、そのゼロ交叉点から、1回 転ごとの正確な時刻を求める。回転機は、通常、ほぼ 一定の周期で回転するが、高精度で周期の変動を計測475すると、回転ごとに±2%程度の変動がある。この回転 周期そのものの変動を時系列信号とみなすと、これは、 回転機の状態を特徴付ける情報となっていることが推 察される。一方、ゼロ交叉点を基準に、1回転に対応 する音響データを同じ長さに規格化して平均化すると、 1回転での音響データの変動の特徴が高精度で再現で きると考えられる。これは、振動信号とキーフェーザ 信号の位相変化が、異常原因の推定に重要な役目を果 たすことから類推して、今回新たに試みた方法である。 基本周期を同じ長さに規格化して平均化することで、 周波数分析した場合の基本周波数やその高調波の推定 精度を高めることも出来る。 - Fig.2 には、上記方法で求めた音響信号の低周波成分 と高周波成分(200Hz で区別)を、3回転分重ね合わせ て示した。後述する 50Hz で回転している正常データの 信号を例に取ったものである。以下では、この固定長 に規格化した波形を「回転規格化信号」と呼ぶことに する。また、Fig.3 には、基本周期の変動の時間変化を 示す。約 500 回転分、10 秒のデータを示しているが、 ±1%程度の変動があることがわかる。低域通過 フィルター回転同期成 分のゼロ交 叉点の判定回転同期成分の 基本周期の時間 ?勤原信号を 標準偏差 で規格化ゼロ交叉点を基準 にした原波形の固 定長への規格化と 平均処理固定長の基本波形 のパターン認識 (回転規格化信号)|基本周期の 時間変動の パターン認識」低周波成分 高周波成分) Fig.1 Pre-processing algorithm of acoustic signalmeasured from rotating machineLow-Freq. AmplitudeHigh Freq. AmplitudsTime(““0.023msec) Fig.2 Extracted acoustic wave of low and high frequencycomponent for single rotating periodNorm Period(%).................. ............... .... Count of RotationsFig.3 Trend of rotating period fluctuation (fundamentalperiod:0.02sec)2.2 状態識別法 * 上記の回転規格化信号は、回転機の状態を示す多次 元ベクトルであり、低周波成分の波形は軸の周方向の 回転情報に直接関係する計測値と考えられる。一方で、 高周波情報は、人間の耳に直接聞こえる情報である。 これらの情報から回転機の状態を識別する際、より低 二次元の情報に縮約することで、直感的な状態把握が可 能になる。そのための方法として、本報告では主成分 分析 (PCA)と、その拡張である非線形 PCA (Kernel PCA、 KPCA) [3,4)を利用する。 (1) 主成分分析(PCA)による方法 -正常運転時にM回測定された p 次元回転規格化信号 をx(m) (m=1,M)とすると、相関関数は11M＝=-2x(m) x(n)““-1Mm=1となり、その固有値問題は下記のようになり、p 個の | 固有値と固有ベクトルを求めることが出来る。-22V = CV このとき、M 個の回転規格化信号の、k 番目の固有ベ クトルへの射影値(主成分スコア値)は z (m) = V() . x(m)(3) となる。主成分分析による方法では、p 個の固有ベク トルから選んだ少数個(K 次元)の射影データ zx(m)、 (k=1,K)を用いて機器の状態を識別する。 (2)非線形主成分分析 (KPCA)による方法[3,4] - Kernel PCA(KPCA)は、主成分分析の非線形空間への 拡張である。まず、x→p(x)という非線形変換を考える。 KPCA では、具体的な 中 の関数形状の定義はせずに、 その内積だけを定義することで、非線形空間内の射影 データを求める。非線形空間での相関関数は(1)式の代 わりに下記のように定義される。p個の476>(n=1,M)-5ル a は、(5)式より、-7Mm1して以下を用いた。で-->< (x)) g(x)““ > (4) この固有値問題は(3)式と同じ形となる。ただし、固有 ベクトル V の次元は異なることに注意が必要である。 この V は、M 個の非線形空間でのデータ P(x(m))で張 られる空間にあることから、次の関係式が成り立つ。 _